sabato 5 marzo 2011

Sottospazio Ortogonale


Definizione 5.9.1
Sia $W$ un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale euclideo $V.$ Allora il sottoinsieme di $V$ costituito da tutti i vettori ortogonali a tutti i vettori di $W$ si dice sottospazio ortogonale a $W$ e si indica con $W^{\perp }$, cioè MATH
Proposizione 5.9.2
$W^{\perp }$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
Dim.
Presi $u,$ MATH, allora
MATH $\forall $ $w\in W$ (chiusura rispetto alla somma).
Se $\lambda \in K,$ $u\in W^{\perp },$ allora MATH $\forall $ $w\in W$ (chiusura rispetto al prodotto).
Proposizione 5.9.3
Dato $W$ sottospazio vettoriale di $V$, un vettore è ortogonale a $W$ se e solo se è ortogonale ad un sistema di generatori di $W$ (in particolare ad una base di $W$).
Proposizione 5.9.4
Ogni spazio euclideo $V$ di dimensione finita si può rappresentare come somma diretta di un suo sottospazio vettoriale $W$ e di $W^{\perp },$ cioè MATH

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