Teorema 5.8.1
(Gram-Schmidt) Ogni spazio euclideo 
di dimensione finita possiede una base ortonormale.
di dimensione finita possiede una base ortonormale. Dim.
La dimostrazione è "costruttiva" ossia fornisce un metodo per il calcolo di una base ortonormale. Tale metodo prende il nome di procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Supponiamo che 
sia una base di 
. A partire da 
costruiamo una base 
di 
in modo che 
, dove 
sia una base di . A partire da costruiamo una base di in modo che , dove Poniamo 
in tal modo 
è normale.
è normale. Poniamo 
Si ha 
Definiamo 
Poniamo 
Si vede che 
e 
e Normalizzando 
si ha 
All'i-esimo passo si ha 
e 
Completando il procedimento 
si ottiene l'insieme 
che è una base ortonormale di 
si ottiene l'insieme che è una base ortonormale di 
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